Cum se calculează radicalul

Ce este radicalul unui număr

Radicalii sunt expresii matematice ce implică operația de extragere a rădăcinii unui număr. Radicalul de ordin n al unui număr a este definit ca fiind acel număr pentru care xⁿ = a. Radicalul este opusul unui exponent reprezentat cu simbolul „√”,cunoscut sub numele de rădăcină. Acesta poate fi rădăcină pătrată √x, unde n = 2, rădăcină cubică ∛x, unde n = 3, a patra rădăcină ∜x, unde n = 4, și așa mai departe.

De exemplu: ∛125 = 5, deoarece 5 × 5 × 5 sau 5³ = 125. În același timp, radicalul este metoda prin care se obține numărul ce a fost ridicat la puterea „2” pentru a obține numărul de sub radical. Dacă x² = a, atunci avem √a = x, ceea ce este considerat opusul unui exponent, la fel cum adunarea este opusul scăderii, iar împărțirea opusul înmulțirii.

De exemplu, dacă ridicăm pe 2 la puterea 3 obținem 8 (2³ = 8). Asta înseamnă că ∛8 = 2, expresie matematică care se citește ca „rădăcina lui 8”, „radical din 8” sau „rădăcina cubică a lui 8”.

Din ce este alcătuit un radical

Un radical poate fi asociat și cu termeni ca ecuație radicală (o ecuație aflată în interiorul unui radical), expresie radicală (expresie afltă în interiorul unei rădăcini pătrate) și inecuație radicală (inecuație aflată în interiorul unui radical). În notația matematică, linia orizontală care acoperă numărul se numește vinculum și acționează ca niște paranteze, indicând modul în care sunt grupate numerele și ordinea de calcul. Apoi, numărul de sub radical se numește radicand, iar cel scris înaintea radicalului poartă denumirea de indice sau grad. Potrivit Cuemath.com, acesta ne ajută să aflăm de câte ori ar trebui înmulțit acel număr cu el însuși pentru a fi egal cu radicandul.

Recomandări

Kremlinul prezintă o listă cu cinci condiții pentru a respecta armistițiul din Marea Neagră. Ce vrea Vladimir Putin

Câte rădăcini pătrate are un număr real

Radicalul desemnează o valoare care, atunci când este ridicată la o anumită putere exprimată printr-un exponent fracționar (unde numitorul acestuia indică ordinul radicalului), este egal cu numărul dat. În cazul în care nu este specificat un ordin pentru radical, se consideră în mod implicit că este vorba despre radicalul de ordinul 2, care este cunoscut și sub denumirea de rădăcină pătrată.

Trebuie spus că orice număr real pozitiv x are două rădăcini pătrate, notate ±i√x​. În schimb, un număr real negativ posedă două rădăcini pătrate, complexe și conjugate, și se notează cu ±i√-x, unde 𝑖 este unitatea imaginară, adică un număr al cărui pătrat este –1, adică astfel încât i² = –1. Și, cum nu există numere reale care, ridicate la pătrat, să fie numere negative, acest număr a fost numit imaginar de către filosoful și matematicianul francez Rene Descartes. Radicalii de orice ordin pot fi calculați prin intermediul logaritmilor naturali sau zecimali.

Reguli de calcul cu radicali

Pentru a calcula un radical este necesar să respecți o serie de reguli generale. Dacă numărul de sub radical este pozitiv, rezultatul va fi pozitiv, iar dacă acest număr este negativ, rezultatul va fi negativ. Totodată, dacă numărul de sub radical este negativ, iar un indice este un număr par, rezultatul va fi un număr irațional. În schimb, dacă indicele nu este menționat, radicalul va fi rădăcină pătrată.

Recomandări

Bogdan Peșchir și „oastea” lui Călin Georgescu. Victor Micula, Tzancă Uraganu, Oana Zăvoranu, Mădălin Ionescu, plătiți pentru a-l susține pe fostul candidat extremist

Trebuie să știi că înmulțirea numerelor aflate sub același radical și indice este posibilă (de ex.: ∛12 × ∛10 = ∛120). Apoi, diviziunea este posibilă pentru numerele aflate sub același radical (de ex.: √8/√4 = √8/4 = √2).

O altă regulă fundamentală a radicalilor spune că este posibilă regula inversă a înmulțirii, în care numărul este împărțit sub același radical. De exemplu, √27 = √9 × √3 = ∛3 × √3. Este important de știut că radicalul poate fi scris și în forma sa exponențială în orice ecuație. De exemplu, √x = 25 (√x)² = (25)²x = 5. Nu în ultimul rând, exponentul invers al indicelui este echivalent cu radicalul însuși (de ex.: √7 = (7)^½, se mai precizează pe site-ul Cuemath.com. Iată și alte reguli de calcul cu radicali:

Radicalul unui produs: √a × b = √a × √b, unde ∀a, b ∈ R

Radicalul dintr-o fracție: √a/b = √a / √b, unde b ≠ 0

Ridicarea radicalului la putere: (√a)ⁿ = a^n/m, unde m este gradul radicalului

Radicalul inversului unui număr rațional pozitiv: √1/a = √a^-1 = (√a)^-1 = 1/√a

Adunarea radicalilor: se face prin factorizare: a√c + b√c = (a + b)√c

Scǎderea radicalilor: se face similar: a√d – b√d = (a – b)√d

Înmulțirea radicalilor: se face separat: a√c × b√d = (a × b)√c × d

Recomandări

Statele Unite nu ridică vizele pentru români și suspendă pe termen nelimitat includerea României în programul Visa Waiver

Cum se calculează radicalii

Pentru a putea calcula radicalii se pot folosi metode precum descompunerea în factori primi sau metode numerice pentru valori aproximative. Spre exemplu, dacă avem de simplificat, va trebui ca numărul din interiorul radicalului să fie cât mai mic posibil, cu condiția să fie tot un număr întreg. Ca să ajungem la o formă simplificată a radicalului va trebui să parcurgem câțiva pași, ținând cont de regulile de calcul cu radicali, notează Mathsisfun.com. Iată cum procedăm:

Exemplu 1:

Simplifică √12

Cum 12 = 4 × 3, vei scrie după cum urmează:

√12 = √4 × 3

În acest caz, va trebui să aplici regula √ab = √a × √b:

√(4 × 3) = √4 × √3

Rădăcina pătrată a lui 4 este 2, așa că în continuare vei scrie:

√4​ × √3 ​= 2√3​

Așadar:

√12 se scrie mai simplu sub forma 2√3

Exemplu 2:

Simplifică √8

√8 = √(4×2) = √4 × √2 = 2√2

(deoarece rădăcina pătrată a lui 4 este 2)

Exemplu 3:

Simplifică √18

√18 = √(9 × 2) = √9 × √2 = 3√2

(deoarece rădăcina pătrată a lui 9 este 3)

De multe ori este util să factorizezi numerele, iar cel mai bine este să le transformi în numere prime. Iată cum trebuie să procedezi în această situație:

Exemplu:

Simplifică √6 × √15

Mai întâi poți combina cele două numere după cum urmează:

√6 × √15 = √(6 × 15)

Apoi le vei factoriza:

√(6 × 15) = √(2 × 3 × 3 × 5)

Apoi vei „scoate” cei doi de 3 și vei scrie:

√(2 × 3 × 3 × 5) = √(3 × 3) × √(2 × 5)= 3√10

Dacă ai de simplificat un radical care conține o fracție, iată cum trebuie să procedezi:

Exemplu:

Simplifică √30 / √10

Mai întâi poți să combini cei doi radicali, aplicând regula √a / √b = √a/b, astfel:

√30 / √10 = √(30 / 10)

Apoi vei simplifica:

√(30 / 10) = √3

Așadar:

√30 / √10 se scrie mai simplu sub forma √3

Alte exerciții și rezolvări cu radicali

CALCULAREA UNOR RADICALI SIMPLI

a) Găsirea radicalului de gradul 2

√144 = 12, deoarece 12² = 12 × 12 = 144

b) Găsirea radicalului de gradul 3

∛27 = 3, deoarece 3³ = 3 × 3 × 3 = 27

c) Găsirea radicalului de grad dat

∜81 = 3, deoarece 3⁴ = 81

d) Găsirea radicalului unei fracții zecimale

√0,25 = 0,5, deoarece 0,5² = 0,25

e) Găsirea radicalului unei fracții ordinare

√9/16 = √9 / √16 = 3/4

f) Găsirea radicalului unei puteri negative

∛8^-1 = (∛8)^-1 = 2^-1 = 1/2

g) Rădăcina pătrată a unei fracții

Calculați: √25/49

Rezolvare:

Se ia rădăcina separat pentru numărător și numitor:

√25/√49 = 5/7

h) Rezolvarea unei ecuații cu radicali

Aflați x astfel încât √x + 5 = 4

Rezolvare:

Ridicăm la pătrat ambele părți:

x + 5 = 4²

x + 5 = 16

x = 11

OPERAȚII CU RADICALI

a) Adunarea și scăderea radicalilor

Calculați: 3√7​ + 5√7​ − 2√7​

Rezolvare:
Se adună coeficienții radicalilor: (3+5−2)√7 ​= 6√7​

Calculați: √21 + 4 + √144 + 25

Rezolvare:

√21 + 4 + √144 + 25 = √25 + √169 = 5 + 13 = 18

b) Înmulțirea radicalilor

Calculați √6 × √24

Rezolvare:

√6 × √24 = √6 × 24 = √144

Alte exemple de probleme cu radicali

Exemplu 1:

Se dă ∛x = 8. Rezolvă radicalul, folosind formula radicalilor.

Pentru a scăpa de radicali, folosind formula radicalilor, vei scrie:

x^1/3 = 8

(x^1/3)³ = 8³

x = 8³

x = 512

Prin urmare, valoarea lui x pentru ∛x = 8 este 512

Exemplu 2:

Rezolvă expresia radicală (6 + 3√x)/y, unde x = 16 și y = 2.

Nu ai altceva de făcut decât să înlocuiești x și y:

(6 + 3√16)/2 = (6 + 3×4)/2 = 9

Prin urmare, rezultatul este 9

Vezi şi cum se calculează procentul!

Urmărește-ne pe Google News